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功的计算在高中物理中占有十分重要的地位，高中物理所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，成为高中物理教学的一个难点。对教学难点，必须采取有效措施，化难为易，非把它攻破不可。本文针对求变力做功问题的方法进行一些探讨，归纳总结如下：?

    一、等效法?

    等效法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。?

    例1：如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛(恒定)，滑块沿水平面由A点前进S米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。???????????

    分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：W=F(h/sinα-h/sinβ)?

    二、微元法?

    当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。?

    例2：在水平地面上拉一木箱沿半径为R的圆周运动半圈，运动中地面与木箱间的滑动摩擦力为f，则f对木箱做功的大小是(      )。?

    (A)2fR    (B)fпR?

    (C)0      (D)以上答案都不对?

    分析：在水平地面上一木箱前进时，滑动摩擦力f为变力(始终沿圆的切线方向)，且f大小不变、方向始终沿着物体运动轨迹方向，因此可以认为在运动过程中每一段时间内，f总与响应的那一小段位移方向相反，所以f对木箱始终做负功，功的公式应改为W=-fs(s为木箱通过的路程)，则f对木箱做功的大小是fпR，故本题答案为B。?

    三、平均力法?

    如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，利用功的定义式求功。?

    例3：求弹簧弹力所做的功。?

    根据胡克定律，对于劲度系数为k的弹簧，当形变量为x时，弹力大小F=kx，弹力F随形变x变化的图线如图2所示对于线性变化的力的做功问题，可以采用以平均力作为恒力代替变力求功。由图2可知，在从弹簧伸长为x?1处到伸长为x?2处过程中，弹力的平均值〖AKF-〗=〖

SX(〗kx?1+kx?2〖〗2〖SX)〗。?

所以W=〖AKF-〗・△x=〖SX(〗kx?1+kx?2〖〗2〖SX)〗・(x?1-x?2)=〖SX(〗1〖〗2〖S

X)〗kx?1?2-〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗kx?2?2???????????

    四、图象法?

    如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F-x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。?

    例如：物体在弹簧弹力作用下从弹簧伸长为x?2处的过程中，弹力F对物体所做的功就应等于图2中直线F=kx下方x?2和x?1之间的梯形面积。即W=〖SX(〗1〖〗2〖SX)〗kx?1?2-〖

SX(〗1〖〗2〖SX)〗kx?2?2?

    五、能量转化法求变力做功?

    功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。?

    1、用动能定理求变力做功?

    动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是W外=△EK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。?

    例4：如图3所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0?8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。???????  分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W?外=0，所以mgR-umg-W??AB?=0，即W??AB?=mgR-umg=1×10×0?8-1/15×10×3=6(J)?

    2、用机械能守恒定律求变力做功?

    如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。?

    例5：如图5所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以V?0=5米/秒的安装速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。?

    分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则状态A：E?A=mgh+mv?0?2/2；对状成B：EB=-W?弹簧?+0。?

由机械能守恒定律得：W??弹簧?=-(mgh+mv?0?2/2)=-125(J)。?

    3、用功能原理求变力做功?

    功能原理是：系统所受的外力和内力(不包括重力和弹力)所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机构能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。?

    例6：质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。?

    分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了h=1米，故机械能动变化量为：?   △E=mgh=2×10×1=20(J)?

    根据功能原理力F所做的功为：W=20J?

    例7：质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。?

    分析：这是一个比较常见的变力做功问题。汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减少，当减少到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fv?m=fv?m，所以汽车的牵引力做的功为W汽车=pt=

fv?mt，根据动能定理有：?W汽车-fs=mv?m?2/2fv?m?t-fs=mv?m?2/2，代入数值解得：f=6000N。?

    关于求变力做功问题，除了在力学中经常碰到外，在热学、静电学、电磁学等领域也会遇到，这就需要在学习力学阶段时，教师要注重对学生进行方法指导，举一反三，触类旁通，为以后解答变力做功问题时打下良好的基础。